ДЕКАБРЬ, ДИКАРЬ, ДЕКАРТ, РЕКА...

© Лео Гимельзон (Lev Gelimson)

...Настал тропический декабрь, но этого не знал дикарь. Он, дубина, подводя итоги неведомого года, взял в руку дубину и пошёл по прямой, которая влекла его просто неудержимо. Так хотелось что-то найти! Не ведал он, что ходит по неисчислимым кладам, да и до слов таких было несказанно далеко. На берегу реки он заметил два рядом лежащих камешка и встал на них. Оказалось, что каждая нога стоит ровно на одном «своём» камне, и лишних камней при этом не остаётся. Надоело стоять, и просветлённое дитя природы задумчиво уселось на песок. Камни освободились от нагрузки и охотно нырнули в руки – каждый в свою. И опять не было лишних – ни рук, ни камней. «О чём задумался детина?» Кто знает... Но камни выпустил из рук и взялся последними за ноги. Результат оказался аналогичным. Сообразительный дикарь понял, что у этих камней, его рук и ног есть что-то общее. Чтобы зафиксировать это бессмертное достижение, он прочертил пригодившейся дубиной две канавки на песке. Но подумал о том, что это ненадолго. Тогда он подошёл к огромному камню и сделал на нём две царапины обнаруженным рядом камешком. Однако подумал о том, что ни того, ни другого не прихватишь с собой. Тогда он выломал две маленькие палочки и положил их рядом. Он ещё не знал, что они параллельны, но так подсказало ему наитие. Он не ведал, что это римское «2», да и Вечный Город ещё не мог вступиться за своё авторское право. Зато ни дубина, ни теперь уже три камешка, ни пять пальцев на руке или ноге не могли быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с руками или ногами. Тогда дикарь с победным гиком разломил дубину пополам, и уже две дубины стали соответствовать рукам и ногам. А сам он перестал быть дубиной, положил эти две дубины крест-накрест перед теми двумя палочками, не ведая о том, что это римское декабрьское «12», и решительно двинулся к реке. И была она куда более долговечной, чем Вечный Город. И звалась она не Летой. И стала она Машиной Времени. И нырнул былой дикарь в заслуженный сон прозрения... И вынырнул великим учёным......И снова был декабрь, и это знал Декарт. Он, глубинно подводя итоги ведомого года, взял в руку перо и пошёл по прямой. Ему захотелось сделать именно её числовой и, более того, ввести систему координат. По горизонтали откладывать числа, по реке, которой он изобразил вертикаль, – времена. «Всякому» числу – «своё время». Точку пересечения осей назначил на должность Начала, хотя и знал, что «в начале было Слово» и были «Начала» Евклида. Выбрал положительные направления вправо, если встать по течению реки, и вниз по течению и для каждой из осей отрезки, названные единичными. Оси – не осы, не кусаются. И уплыл против течения во временнУю минус бесконечность. Опустела числовая ось. Захотелось пополнять её. И течение само несло. Правее Начала улёгся камешек. Но он так испугался одиночества, что сквозь землю провалился. В ту же ямку на прямой нырнула столь же одинокая ракушка. На столько же ещё правее расположилась ямка с двумя камешками и двумя ракушками... Чем дальше плывёт Декарт – былой дикарь, тем больше ямок... И понял он, что когда-то в древности отвлечённых чисел не было. Они ещё не умели отвлекаться от предметов. Но уже возникло интуитивное представление о количествах однотипных объектов. Это были именованные числа – синкретические, цельные понятия, а позже и неразделённые словА – «два камешка», «три ракушки», ... Ямок становилось всё больше, и им захотелось как-то обозначить свои индивидуальности. Не разрывать же каждый раз каждую ямку, чтобы понять, по сколько однотипных предметов в ней лежит? Поэтому такая же одинокая палочка просто улеглась рядом с первой ямкой, две палочки – рядом со следующей, ... Постепенно клады-склады в ямках забывались, и палочки – женского рода – на виду радостно отвлекались и отвлекали внимание от первоисточников, чтобы его самим больше доставалось. Вот и стали совокупности палочек отвлечёнными числами. Строгости – хоть отбавляй! Палочная дисциплина! Они возомнили себя – и только себя – природными и гордо назвались натуральными. Их стало много, потом очень много – больше любого наперёд заданного количества. Плывёт Декарт и радуется спонтанно нарастающим владениям. Сказка, да и только! Но надоело быть числам безмолвными вассалами учёного мира, и в их обликах ожили первоначальные клады-вклады. Намного ниже по течению, доплыв до Дарвина, Декарт поймёт, что внутривидовая борьба не миновала и чисел. Те же зависть и ревность... Но до этого прозрения пока так далеко... Самое худое число немедленно подпрыгнуло над осью, вскрикнуло о своём приоритете и объявило себя единственным и неповторимым монархом. Но на него следующее навело себя как двустволку, заткнуло ему пасть, подпрыгнуло вдвое выше и громогласно заявило о военном перевороте и диктаторских замашках. «Недолго музыка играла», даже строевая, и следующий прыжок молитвенным настроем поведал о том, что «Бог троицу любит». Но не тут-то было, и целый квартет объявил себя первым не простым, а составным числом и скромно похвастался квадратным обликом и хорошей оценкой. Тут же вскочила отличная, очень плохой симметричная. Не выдержало и первое совершенство, равное сумме своих делителей меньше себя... Но естественный процесс самовыдвижения удалился вправо и скрылся из поля зрения. А кратковременному монарху надоело быть самым маленьким числом, и он, сохраняя целостность, стал дробить свои копии из грядущего ММТ (отодвину сам засов: то – Музей мадам Тюссо) и назначил все дроби своими вассалами. Но те, недолго думая, стали множиться и расплодились успешнее австралийских кроликов по правой полупрямой, презрительно окружая и поглощая былую натуру. А затем завоевали и левую, хотя для этого и пришлось приделать горизонтальную палочку слева и униженно назваться отрицательными числами. Но не всем же быть положительными! Революционные дроби провозгласили себя рациональными, то есть единственно разумными числами. В их головы, опьянённые успехом кажущейся монополии, даже не просочилась тень сомнения в собственной исключительности. Но внезапно восстала Диагональ Единичного Квадрата. Оказалось, что она несоизмерима с былым монархом и что поэтому её просто нет среди рациональных чисел, а значит, она просто не существует. Но она, возмущённая столь несправедливым непризнанием, вслед за дугообразным циркулярным росчерком нагло улеглась прямо на прямую, воспользовавшись тем, что раздвигать былых завоевателей ей всё-таки не пришлось. Но те, горестно убедившись в её существовании, презрительно объявили её иррациональной, абсурдной, попросту глупой. Та радостно ухватилась за первую кличку. Как говорится, лучше быть глупым, чем лысым: не так и не всем заметно. А в данном случае слишком многим иррациональное просто непонятно и потому кажется очень умным. Чистая – или нечистая – психология! Увлёкся Декарт бесконечным заплывом и проскочил своё время, которое всякому овощу. И заслушался от недовольной песней Больцано о парадоксах бесконечности, нечувствительной к конечным изменениям. И узнал он от Кантора, что иррациональных чисел куда больше, чем рациональных, которые хотя бы можно сосчитать натуральными числами, а иррациональные – нельзя. Как последние обрадовались! Их собрание чисто демографически агрессивно свергло ненавистную власть раздираемых внутренними противоречиями рациональных чисел и объявило их своими вассалами. Но заметило рациональные дырки в своих рядах и милостиво разрешило побеждённым заполнить их согласно купленным билетам. Цель господства над прямой оправдывает и такие средства! И все эти числа, вместе взятые, провозгласили себя действительными, или реальными. А когда благодаря корням уравнений (стоило ли вообще откапывать такую нечисть и выдавать за клады-сокровища?) появились новые числа, владыки прямой не пустили их не неё, обозвали мнимыми, или воображаемыми, или недействительными – в любом случае несуществующими – и просто выгнали в шею. Те открыто не возражали против пренебрежительных кличек, побаиваясь старожилов, но внезапно обнаружили в себе достаточно воображения, чтобы тихой сапой заполнить всю остальную числовую плоскость, кроме той злополучной престижной числовой прямой, единственной и неповторимой. Расплодились донельзя, развернули демографическое дышло в своих многочисленных направлениях. И только гены палочной дисциплины то ли наследственно, то ли инерционно, то ли просто добродушно хранили обитателей съёжившейся от страха прямой от неминуемого поглощения как возмездия.
 
...И снова был декабрь, и смело плыл Декарт, его несла река. И смотрел он по обыкновению по прямой. А разве можно иначе? И заметил он Робинсона на берегу. Нет, не Робинзона, а реального и даже вполне цивилизованного. И, конечно, намного позже. Тот, скорее, не смотрел по прямой, а просто задумался над ней, точнее, над какими-то непонятными для чисел фильтрами. Нет, не для питьевой воды или сигарет, а исключительно математическими. И с их помощью доказал теорему существования неких нестандартных чисел на той же числовой прямой. Но её аборигены, внимательно выслушав заоблачную премудрость, поинтересовались, где именно у них дыры и как оперировать с новичками-заполнителями. В ответ прозвучало, что такие дыры существуют и их заполнители являются некими нестандартными числами. И тут раздался громкий хохот. Так отреагировало скопление мнимых чисел, которое пренебрежительно взирало на сравнительную редкость своих действительных оппонентов. Последние удивлённо посмотрели на смеющихся выскочек. Из-за их бестактных спин в верхней полуплоскости вынырнул их монарх, квадрат которого равен минус единице, и предложил свою очевидную аналогию. Что было бы, если бы было просто объявлено, что точки плоскости вне числовой прямой изображают некие мнимые числа, никак не связанные ни с действительными числами, ни с практически важными уравнениями, и лишённые всякой оперативности? Много ли пользы от заявлений, что корнями уравнения, которое надлежит решить, являются некие мнимые числа без конкретного их указания?
 
...Идет декабрь, плывёт Декарт, несёт река. И смотрит он по прямой. И увидел он: её обозревает Автор Универсальной Математики и, в частности, Квантианализа, лежащего в её основе, он же Автор. Уверенно вооружается комбинированным телескопом-микроскопом с бесконечным приближением-увеличением. И ставит задачи перед числами. В мешке – 10 шаров, каждый с одной из цифр от 0 до 9. Вслепую наудачу без экстрасенсорных способностей вынимается один из шаров. Какова вероятность, что на нём – наперёд заданная цифра, например 7? И пристально смотрит на прямую. И подпрыгивает одно из чисел. На его спине значится одна десятая. Всё верно. Автор меняет задачу. В мешке – счётное множество шаров с числами 0, 1, 2, ... , 10, ... , 100, ... , 1000, ... . Какова вероятность, что на вынутом шаре – наперёд заданное число, например 7? А вот теперь ни одно из чисел не подпрыгивает. В чём дело? Может быть, они просто не умеют считать? И тут появляется какая-то царица. С чего бы это вдруг? На короне надпись: «Традиционная математика». Теперь ситуация прояснилась. Король математики Гаусс провозгласил: «Математика – царица наук...» И она решительно одобряет воздержание своих подданных. Будь та вероятность 0, стала бы сумма счётного множества нулей тоже 0 как предел нулевых частных сумм. А должна быть 1 как вероятность достоверного события. Ведь ровно один шар вынимается, и одно из названных чисел оказывается на нём. Будь та вероятность положительной, стала бы сумма счётного множества таких вероятностей плюс бесконечностью как предел частных сумм, которые при достаточно большом количестве слагаемых становятся больше любого наперёд заданного числа. Это обеспечивается аксиомой Архимеда. Нет, не его вполне объективным законом о выталкивающей силе, который носит характер открытия, как и естественные науки. Это есть в самой природе. А вот названная аксиома, как и вся математика, – изобретение. Достаточно разделить это число на ту положительную вероятность и брать натуральные числа, превышающие это частное. А ведь сумма должна быть 1 как вероятность достоверного события. Значит, искомая вероятность просто не существует. И вопрошает удивлённый Автор о вероятности выбора одной из точек отрезка, прямой, прямоугольника или плоскости. И замечает четыре подпрыгивания Начала и одобрительные улыбки царицы. И увидел Декарт, что Автор за словом в карман почему-то не лезет и делает смелое заявление царице. События выемки одного шара с наперёд заданным числом из счётного множества шаров и одной точки из множества точек вполне разумны, возможны и, следовательно, должны иметь некие положительные вероятности. А если царица не может указать соответствующие числа, то её числовая система является неполной и попросту нуждается в пополнении. Радостная числовая прямая тут же проявляет гостеприимство: дескать, запас карман не тянет. И не менее радостный Автор решительно ловит её на таком добром слове. Он увязывает бесконечные кардинальные числа Кантора с избранными каноническими множествами соответствующих мощностей. Вбрасывает эти кардинальные числа в множество действительных чисел. Заставляет их не только принять пришельцев, но и включить их во все свои операции с сохранением всех их свойств, включая непоглощение сколь угодно малых чисел сколь угодно большИми. Понятно, что аксиома Архимеда, справедливая лишь для конечных чисел, конечно же, просто не подходит для такого их расширения. И новички плодятся невиданными темпами и окружают плотной толпой каждого из старожилов. И готовы точно и универсально мерить всё на свете. И точно выполняются законы сохранения даже в бесконечном. И никакие бесконечно большие неспособны поглотить бесконечно малые. И перестаёт бесконечность быть кучей крайне грубо различаемых и часто неоправданно отождествляемых бесконечностей. И повторяет Автор те же задачи. И соответствующие новички радостно подпрыгивают. И Больцано. И Кантор. И числа-сокровища дружно смыкают свои тесные ряды и осознают, насколько сильнее они вместе. И одаряет царица Автора доброй, благодарной улыбкой...