НЕ СПАСАЕТ ВЕРА,

КОЛЬ ДЫРЯВА МЕРА

© Лео Гимельзон (Lev Gelimson)

УНИВЕРСАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО

Спасает ли конечность множеств
от поглощения? Увы...
Не сладить мерам с тяжкой ношей,
с которою всегда на Вы...

На что же можно опираться,
когда на входе – беспредел
у столь нечутких операций?
Поток проблем не поредел...

И мере дай свою размерность!
Объём измерит ли длину?
Соедини их! Мерь! Чем? Нервность –
в математическом плену.

А взять у квантиэлементов
свои количества, сложить
униколичественной лентой, –
она и рада послужить

у квантимножеств квантисуммой
и унимерою у всех –
и сверхчувствительной, и умной,
нацеленною на успех.

Поймает бесконечномалость,
различье бесконечным дав.
Не зря открытьем нанималась,
на ус прозренье намотав!

На части делится и точка.
И выброс дарит пользу нам
как лепестками у цветочка.
И даль небесная земна.

Измерения – благодарная тема для юмора и особенно сатиры. Особенно обмеры, обвесы и тесно связанные с ними обсчёты в исполнении продавцов. Но в таком разрезе – довольно избитая и зачастую просто дешёвая. Ширпотреб. Массовая культура.
Довелось и удалось создать собственный жанр "Лирический юмор". Как прозаику и поэту.
Но на этот раз решил посильно сблизить читателя с наукой. Как доктор наук. И попытаться добавить комментарии не без улыбки. А почему бы и нет? Есть же интеллектуальные читатели...
Известен завет Галилео Галилея: "Измерять всё измеримое и делать измеримым то, что пока ещё не измеримо".
Д. И. Менделеев сказал: "Наука начинается там, где начинают измерять. Точная наука немыслима без меры".
Для начала присмотримся к самой науке об измерениях.
Классическая метрология основана на использовании имеющих пробелы действительных чисел и малочувствительных не универсальных мер с поглощением и нарушениями законов сохранения даже в конечном и вовсе не пригодна для бесконечно и сверхбесконечно большого и малого. Далее, обработка данных в классической метрологии основана на использовании не инвариантной абсолютной погрешности и редко применимой и тем более приемлемой и совсем не универсальной относительной погрешности, а также метода наименьших квадратов с многочисленными изъянами.
Значит, пора перейти к математике.

Классическая математика, её понятия, подходы, методы и теории основаны на негибкой аксиоматизации, умышленном поиске и даже целенаправленном искусственном создании противоречий, чтобы отказаться от дальнейших исследований.
Я не шучу. По мнению классической математики, противоречивое просто не существует. В отличие от полного противоречий мира вокруг нас.

Эти и другие взаимосвязанные основополагающие недостатки не позволяют рассматривать, ставить и тем более приемлемо решать многие классы типичных насущных задач в науке, технике и жизни.
А зачем вообще решать насущные задачи? Избранные – легче и приятнее. По принципу поиска не там, где потерял, а там, где светло.

Математики основываются или на теории множеств, или на мереологии, как будто бы несовместимых. Множества, нечёткие множества, мультимножества и операции над ними формируют далеко не каждую совокупность объектов.
И почти все математики отрицают мереологию. Хотя именно она рассматривает целостные системы, которые нельзя расчленить на независимые и свободно переставляемые элементы. Например, живые организмы. А измерительные приборы?

Действительные числа неспособны заполнить числовую прямую ввиду пробелов между ними и поэтому выражают не всякую даже ограниченную величину.
Это придется доказать. Хотя и не без улыбки. С помощью теории вероятностей. Для начала – задача. В мешке – 10 шаров. Каждый – с одним из натуральных чисел от 1 до 10. Вслепую наудачу без экстрасенсорных способностей вынимается один из шаров. Какова вероятность, что на нём – наперёд заданное число, например 7? Конечно, одна десятая. Почему? Делим 1 как число благоприятных исходов на 10 как число возможных исходов. Меняем задачу. В мешке – счётное множество шаров с числами 1, 2, 3, ... , 10, ... , 100, ... , 1000, ... . Какова вероятность, что на вынутом шаре – наперёд заданное число, например 7? По мнению классической математики, искомая вероятность просто не существует. Будь та вероятность 0, стала бы сумма счётного множества нулей тоже 0 как предел последовательности нулевых частных сумм. А должна быть 1 как вероятность достоверного события. Ведь ровно один шар вынимается, и одно из названных чисел оказывается на нём. Будь та вероятность положительной, стала бы сумма счётного множества таких вероятностей плюс бесконечностью как предел последовательности частных сумм, которые при достаточно большом количестве слагаемых становятся больше любого наперёд заданного числа. Это обеспечивается аксиомой Архимеда. Нет, не его вполне объективным законом о выталкивающей силе, который носит характер открытия, как и естественные науки в целом. Это – в самой природе. А вот названная аксиома, как и вся математика, – изобретение. Достаточно разделить наперёд заданное число на ту положительную вероятность и брать натуральные числа, превышающие это частное. А ведь сумма должна быть 1 как вероятность достоверного события. Значит, искомая вероятность просто не существует. А каковы вероятности выбора одной из точек отрезка, прямой, прямоугольника или плоскости? По мнению классической математики, нулевые. Но ведь совпадение числа на единственном шаре, вынутом из счётного множества шаров, с наперёд заданным числом – вполне разумное и возможное событие. Как и совпадение единственной точки, выбранной из множества точек, с наперёд заданной точкой из этого множества. Каждое такое событие должно иметь некую непременно положительную вероятность. А нулевую – только невозможное событие. Но классическая математика не может явно указать соответствующие числа. Значит, её числовая система является неполной. И попросту нуждается в пополнении.

Мощности и меры недостаточно чувствительны к бесконечным и (ввиду поглощения) даже пересекающимся конечным множествам. За пределами конечного не действуют законы сохранения. Бесконечность представляется собранием очень грубо различаемых кардинальными числами и мерами (и ничем не измеряемых точно) интуитивно весьма различных бесконечностей.
"Проще пареной репы." Элемент может множеству принадлежать или нет, а кратность не учитывается. Всё равно, хоть миллион условно неразличимых монет достоинством в 1 евро, хоть одна. Миллионер равен нищему. Продавцы с их обмерами, обвесами и обсчётами отдыхают. Но продолжим. Есть 3 элемента в объединении из 5, 7 и 8 множества из 5 и 7 и множества из 7 и 8, а в каждом из них – по 2 элемента. Было 4 элемента, после объединения осталось 3. Усушка. Утруска. Ввиду поглощения общего элемента 7. Бывает и хуже. Особенно при бесконечности множеств. Множество всех натуральных чисел 1, 2, 3, ... есть объединение множества только чётных и множества только нечётных. А мощность у всех трёх – одна и та же мощность счётного множества. И ничего лучшего у классической математики нет. Это при выбрасывании примерно половины. А можно 99% или даже больше. Куда там хитрым продавцам! И мощность единичного отрезка, и мощность всего трёхмерного пространства – одна и та же мощность континуума. Нет слов. А что же меры? Единой нет. Для точек точечная, для отрезков линейная, для поверхностей площадная, для тел объёмная. А чем мерить множество смешанной размерности, включающее отдельные точки, кривые, поверхности и объёмы? К мелочам же типа включения или исключения концов отрезка меры совершенно невнимательны. И фундаментальные законы сохранения нарушаются.

Операции не могут моделировать любую смешанную величину.
В классической математике просто нет моделей любой смешанной величины. Скажем, для «2 кг яблок» нет известных операций между «2 кг» и «яблоки». Даже не верится... Так хочется опровергнуть! Не поможет ли умножение? «2 кг» умножить на «яблоки»? Или, наоборот, «яблоки» умножить на «2 кг»? Можно смеяться...

Абсолютная погрешность не инвариантна и сама по себе недостаточна для оценивания качества. Относительная погрешность применима только к простейшим формальным равенствам двух чисел и даже тогда неоднозначна и может быть бесконечной. Практически не заменимый в переопределённых задачах, типичных для обработки данных, метод наименьших квадратов необоснованно полагается, как и математическая статистика, на абсолютную погрешность и аналитически простейшую вторую степень усреднения. Этот метод непригоден при не совпадающих физических размерностях (единицах) задачи, меняет не проверяемый результат при её равносильных преобразованиях и часто ведёт к предсказуемым неприемлемости, извращениям и парадоксам.
Да, и с обработкой измерительных данных дело не лучше. У часто приемлемого формального равенства 1000 = 999 и негодного 1 = 0 абсолютная погрешность 1 одна и та же. Сама по себе не может достаточно оценить качество приближения. Да ещё и не инвариантна при эквивалентных преобразованиях задачи. Умножишь равенство на 10 – и она умножится на 10. Не выручит ли относительная погрешность? Увы, неоднозначна, поскольку делитель для абсолютной погрешности можно выбрать двумя способами. Должна по замыслу быть от 0 до 1, но на деле, увы, может оказаться и бесконечной. Как для 1 = 0 при выборе делителя 0. Да и приложима только к формальным равенствам двух чисел. И нет меры уверенности в точности объекта. И нет меры противоречивости в системе отношений. И дюжины принципиальных грехов у классического метода наименьших квадратов Гаусса-Лежандра. А только его можно приложить к переопределённым системам уравнений, число которых больше числа неизвестных. В докторской диссертации я строго доказал ограниченность метода наименьших квадратов, у которого есть целый ряд принципиальных взаимосвязанных недостатков. Кому-то это может показаться просто кощунственным. У самих Лежандра и Гаусса? Да ещё «целый ряд»? Как автор смеет! Он высочайшего мнения о бессмертном вкладе корифеев в развитие науки и относится с величайшим интересом к их жизни и деятельности. Но «истина дороже» «магии имён». Таков священный долг настоящих первооткрывателей во все времена. А повторение былых вершин – задача преподавателей и учащихся... Но каков же именно «целый ряд»? При различии физических размерностей в уравнениях системы метод бессмыслен. Скажем, если одно из её уравнений составлено по закону сохранения энергии, а другое – импульса. Правда, казалось бы, ничто не мешает привести все уравнения системы к единой физической размерности. Да только сделать это можно по-разному. Так, в данном примере можно разделить первое уравнение на скорость, но не менее логично и на её половину. Да и значения скорости могут быть любыми. А метод приводит при этом к различным результатам и, следовательно, не имеет объективного смысла. Но, может, хотя бы при единой физической размерности всё в ажуре? Если бы... Увы, придётся продолжить. Метод не соотносит отклонений искомых приближений от объектов с ними самими. Он просто смешивает эти отклонения без их адекватного взвешивания. К тому же рассматривает равные изменения квадратов этих отклонений с относительно меньшими и бОльшими абсолютными величинами как эквивалентные. Метод не предусматривает никаких итераций (уточняющих повторений) и основан на фиксированном алгоритме без априорной и апостериорной гибкости. Да и не оценивает инвариантно качества приближений. Эти дефекты в сущности метода ведут ко многим фундаментальным недостаткам в его применимости. Результат не имеет никакого объективного смысла и не инвариантен при эквивалентных преобразованиях задачи, что ограничивает их класс. Метод практически игнорирует уравнения с относительно меньшими коэффициентами. Для меньших значений он парадоксально даёт бОльшие (даже абсолютные) погрешности. Для относительных такая парадоксальность ещё сильнее. Можно и устать считать недостатки... «Куда ни кинь – всюду клин».

Стандартным в расчётах напряжённо-деформированного состояния считается метод конечных элементов. Его коммерческие программы именно поэтому не в состоянии учесть нестандартные особенности изучаемых объектов. Нет и речи о точном выполнении фундаментальных уравнений равновесия и совместности деформаций в объёме каждого конечного элемента. В результате погрешности просто «размазываются» по нему, причём непонятно, как именно, и оценить их нельзя. Простейшие тестовые задачи теории упругости с точными решениями показывают стремление к последним результатов по методу конечных элементов в лучшем случае в пределе, да и то далеко не всегда даже при удачном разбиении объекта на конечные элементы. Поэтому в лучшем случае можно надеяться на приемлемые результаты только при огромном количестве конечных элементов. Их обилие ведёт к огромным массивам информации, которые почти невозможно охватить и проанализировать. Добавление даже одного нового узла требует полного пересчёта сызнова, что сопровождается колоссальным объёмом именно ручной работы, которую пока не удаётся путём программирования возложить на компьютер. Опыт показывает, что при неудачном (а удачу нельзя предвидеть заранее!) разбиении объекта на конечные элементы даже опытные исследователи приходят к совсем негодным результатам. Графические интерпретации красивы и впечатляют непосвящённых заказчиков, однако получены на основе непонятно каких приближений. В итоге метод конечных элементов оказывается таким же «чёрным ящиком», как и метод наименьших квадратов Лежандра и Гаусса, и фактически требует слепой веры в результат, бесцеремонно объявляемый истиной в последней инстанции. Вернее, даже худшим, поскольку невозможен анализ хода вычислений. Кстати, многолетний опыт автора как программиста, Microsoft Certified Professional и Microsoft Certified Professional Systems Engineer показывает, что реальный компьютер работает совсем не так, как человек об этом думает, и пооперационный контроль необходим. А здесь он невозможен. Как и вообще прямая проверка расчёта. Но тогда разве можно ему верить? Это тем более опасно, что метод конечных элементов создаёт вредную иллюзию, будто едва ли не каждый инженер способен благодаря нему успешно выполнять расчёты напряжённо-деформированного состояния сколь угодно сложных объектов. Даже если не имеет никакого понятия о том, как именно они деформируются под действием приложенных нагрузок. И не владеет ни математическим аппаратом, ни методами сопротивления материалов, ни механикой деформируемого твёрдого тела. Достаточно только пространственного воображения: надо ведь разбить объект на конечные элементы. Полное заблуждение! Для проведения ответственных расчётов прочности даже по известным нормам инженеры должны обладать аналитическим складом ума, большими и глубокими знаниями, способностью творчески и активно использовать их, чутьём и многолетним опытом, даже талантом. Таковы немногие. Если человек чего-то не понимает, ему компьютер как мощнейший калькулятор просто не в состоянии помочь: думать-то не может! Зато быстро даёт внушительные по объёму и красиво оформленные иллюзорные «решения» любых задач. Не потому ли так много аварий и техногенных катастроф? Итак, нельзя безоглядно полагаться на метод конечных элементов. Но он полезно дополняет аналитические методы, если все результаты расчётов согласуются в главном, и добавляет нелишние подробности и красивые графические интерпретации. Если нет, рекомендуется другое разбиение объекта на конечные элементы. То есть тестирование аналитическими методами совершенно необходимо, обеспечивает косвенную проверку расчёта по методу конечных элементов и кардинально изменяет ситуацию. Если человек обладает всеми необходимыми качествами и глубоко и ясно понимает сущность проблем, то неоценима помощь и компьютера, и, в частности, метода конечных элементов. Автор представляет себе деформируемые объекты живо, образно и ярко. Конечно, благодаря аналитическим методам макроэлементов. Они приводят к открытию новых явлений в механике деформируемого твёрдого тела. Их с помощью метода конечных элементов изредка удаётся проверить, но едва ли можно обнаружить. А без этого и проверять-то нечего!

Послесловие

И создал автор свою математику. Столь же придуманную. В той же мере изобретение. И не «вместо», а «вместе». Альтернативную. И назвал её вначале новой, затем эластичной и, наконец (на коне), универсальной. Униматематика может быть названа не только универсальной и объединённой, но и общей, естественной, природной, физической, интуитивной, нестрогой, свободной, гибкой, совершенно чувствительной, практической, полезной, исключительно созидательной, творческой, изобретательной, ... А фундаментальные законы сохранения действуют. Бесконечно большие точно различаются даже при бесконечно малых отличиях. Универсальные числа получены расширением действительных с оригинальным включением бесконечных кардинальных чисел Кантора. И привычные свойства операций сохраняются. И возможные события всегда имеют положительные вероятности. И стала однозначной относительная погрешность. И всегда в пределах от 0 до 1. И введён резерв как мера уверенности в точности объекта. И мера противоречивости в системе отношений. И предложил автор дюжины основополагающих наук, включающих сотни теорий и методов, которым пока не приходилось каяться в принципиальных грехах.

Подробности и ссылки: http://kekmir.ru/members/person_6149.html